Задание №19 из базового ЕГЭ по математикеmathvideourok.moy.su

Признаки делимости на 2 и 4:

Число делится на 2, если оно заканчивается четной
цифрой или нулём.
Числа 2346 и 3650 - делятся на 2. Число 4521 - не
делится на 2.
Число делится на 4, если две последние его
цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В

Числа 31700 и 16608 -делятся на 4. 215634 – не
делится на 4.

Признаки делимости на 3 и 9:

На 3 делятся только те числа, у которых сумма
цифр делится на 3.
Числа 17835 и 5472 – делятся на 3. Число 105499 – не
делится на 3.
На 9 делятся только те числа, у которых сумма
цифр делится на 9.
Числа 2376 и 342000 – делятся на 9. Число 106499 – не
делится на 9.

Признаки делимости на 8 и 6:

Число делится на 8, если три последние цифры его
нули или образуют число, делящееся на 8. В
остальных случаях - не делится.
Числа 125000 и 111120 – делятся на 8. Числа 170004 и
124300 – не делятся на 8.
Число делится на 6, если оно делится одновременно
на 2 и на 3. В противном случае - не делится.
Числа 126 и 254610 – делятся на 6. Числа 3585 и 6574 не делятся на 6.

Признаки делимости на 5 и 25:

На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0
или 5. Другие - не делятся.
Числа 245 и 56780 – делятся на 5. Числа 451 и 678 – не
делятся на 5.
На 25 делятся числа, две последние цифры которых
нули или образуют число, делящееся на 25 (т. е.
числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). Другие
не делятся.
Числа 7150 и 345600 – делятся на 25. Число 56755 – не
делится на 25.

Признаки делимости на 10, 100 и 1000:

На 10 делятся только те числа, последняя цифра
которых нуль, на 100 - только те числа, у которых
две последние цифры нули, на 1000 - только те, у
которых три последние цифры нули.
Число 34680 – делится на 10. Число 56700 – делится на
100 и на 10. Число 87549000 - делится на 10, 100 и 1000.
Числа 75864, 7776539 и 9864032 – не делятся на 10, 100 и
1000.

Признак делимости на 11:

На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр,
занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр,
занимающих четные места, либо разнится от нее на число,
делящееся на 11.
Число 103785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих
нечетные места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих четные
места 0+7+5=12.
Число 9163627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих
нечетные места, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, занимающих
четные места, есть 1 + 3 +2 =6; разность между числами 28 и 6 есть
22, а это число делится на 11.
Число 461025 не делится на 11, так как числа 4+ 1 + 2 = 7 и б +0 +
5=11 не равны друг другу, а их разность 11 -7 = 4 на 11 не делится.

Среднее общее образование

Линия УМК Мерзляка. Алгебра и начала анализа (10-11) (У)

Линия УМК А. Г. Мерзляка. Алгебра и начала анализа (10-11) (Б)

Линия УМК Г. К. Муравина. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (углуб.)

Линия УМК Г.К. Муравина, К.С. Муравина, О.В. Муравиной. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (баз.)

ЕГЭ-2018 по математике, базовый уровень: задание 19

Вашему вниманию мы предлагаем разбор 19 задания ЕГЭ 2018 года по математике. Статья содержит подробный анализ задания, алгоритм решения и рекомендации актуальных пособий для подготовки к ЕГЭ, а также подборку материалов по математике, опубликованных ранее.

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень

Учебник входит в УМК по математике для 10-11 классов, изучающих предмет на базовом уровне. Теоретический материал разделен на обязательный и дополнительный, система заданий дифференцирована по уровню сложности, каждый пункт главы завершается контрольными вопросами и заданиями, а каждая глава - домашней контрольной работой. В учебник включены темы проектов и сделаны ссылки на интернет-ресурсы.

Задание 19

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно –3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно –8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение

А) Пусть среди написанных чисел

x – положительных

y – отрицательных

z – нулей

Тогда имеем, что

• сумма положительных чисел равна 4x
• сумма отрицательных чисел равна –8y
• сумма всех чисел ряда 4x + (–8y ) + 0z = –3(x + y + z )

4(x – 2y + 0z ) = –3(x + y + z )

Т.к. левая часть равенства кратна 4, то и правая часть равенства должна быть кратна 4, значит

x + y + z (количество чисел) кратно 4.

40 < x + y + z < 48,

x + y + z = 44

Значит на доске написано 44 числа.

Б) Рассмотрим равенство 4x + (–8y ) + 0z = –3(x + y + z )

4x – 8y = – 3x – 3y – 3z

4x + 3x + 3z = 8y – 3y

7x + 3z = 5y

Отсюда получаем, т.к. z ≥ 0 (количество нулей в ряду)

7x < 5y

x < y

Значит положительных чисел меньше, чем отрицательных.

В) Т.к. x + y + z = 44,подставим это значение в равенство 4x + (–8y ) + 0z = –3(x + y + z ),

4x – 8y = (–3 · 44)/4

x – 2y = –33

x = 2y – 33

Учитывая, что x + y + z = 44, имеем x + y ≤ 44, подставим x = 2y – 33 в данное неравенство

2y – 33 +y ≤ 44

3y ≤ 77

y ≤ 25	2
	3

y ≤ 25, учитывая, что x = 2y – 33 получаем x ≤ 17.

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

2 слайд

Описание слайда:

Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Разложим число 20 на слагаемые различными способами: 1) 20 = 9 + 9 + 2 2) 20 = 9 + 8 + 3 3) 20 = 9 + 7 + 4 4) 20 = 9 + 6 + 5 5) 20 = 8 + 8 + 4 6) 20 = 8 + 7 + 5. Находим сумму квадратов в каждом разложении и проверяем, делится ли она на 3 и не делится на 9. При разложении способами (1)−(4) суммы квадратов чисел не делятся на 3. При разложении способом (5) сумма квадратов делится на 3 и на 9. Разложение способом (6) удовлетворяет условиям задачи. Ответ: например, числа 578 или 587 или 785 и т.д.

3 слайд

Описание слайда:

№ 2. Приведите пример трехзначного натурального числа, большего 600, которое при делении на 3, на 4 и на 5 даёт в остатке 1 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите ровно одно такое число. 600 делится на 3, 4 и 5. Число 601 дает в остатке 1 при делении на эти числа, но цифры в 601 не убывают. НОК=3*4*5=60 - делится на 3, 4 и 5. Проверяем число 600+60 =660. Оно делится на 3, 4 и 5, число с остатком 1 это 661, но цифры не убывают. Проверяем следующее 660+60= 720, оно делится на 3, 4 и 5. Число 721 дает в остатке 1 и цифры убывают. Ответ: 721.

4 слайд

Описание слайда:

№ 3. Приведите пример пятизначного числа, кратного 12, произведение цифр которого равно 40. В ответе укажите ровно одно такое число. Разложим 40 на 5 множителей: 40=5*2*2*2*1. Например, 51222. Т.к. число должно быть кратно 12, то оно должно делиться на 3 и 4. Сумма цифр равна 12, значит, оно делится на 3. Чтобы число делилось на 4, надо чтобы две последние цифры составили число, которое делится на 4. 22 не делится на 4, а 12 делится. Значит, в конце стоят цифры 1, 2. Варианты ответа: 52212, 25212, 22512.

5 слайд

Описание слайда:

№ 4. Вычеркните в числе 53164018 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число 5 3 1 6 4 0 1 8 - цифры числа. Чтобы число делилось на 15, надо, чтобы оно делилось на 3 и на 5. Чтобы число делилось на 5, надо, чтобы оно оканчивалось на 0 или на 5. Вычеркнем 2 последние цифры. 5+3+1+6+4+0 = 19, значит надо вычеркнуть цифру 1 (сумма цифр будет 18), или 4 (сумма цифр будет 15). Варианты ответа: 53640 или 53160.

6 слайд

Описание слайда:

№ 5. Найдите трехзначное число большее 500 которое при делении на 4 на 5 и на 6 дает в остатке 2 и в записи которого есть только две различные цифры. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. Число которое делится на 4, 5 и 6 равно 60. Число больше 500 и кратное 60 это 540, 600, 660, 720, 780, 840, 900, 960. Чтобы при делении на 60 в остатке получить 2, надо к любому из этих чисел прибавить 2. Это может быть 662 или 722.

7 слайд

№ 7. Найдите трехзначное натуральное число, большее 400, но меньшее 650, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. Число начинается с цифры 4 (больше 400), значит оно должно делиться на 4. Второе число - 416. Оно делится и на 4. но не делиться на 6. Первое число - 412. Оно делится и на 4 и на 2 (четное число) Число делится на 4, если оканчивается на 00, или число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4. Еще число - 432. Оно делится и на 4, и на 3, и на 2. Варианты ответа: 412 или 432.

Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.

Решение.

Разложим число 20 на слагаемые различными способами:

20 = 9 + 9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 = 8 + 8 + 4 = 8 + 7 + 5 = 8 + 6 + 6 = 7 + 7 + 6.

При разложении способами 1−4, 7 и 8 суммы квадратов чисел не кратны трём. При разложении пятым способом сумма квадратов кратна девяти. Разложение шестым способом удовлетворяет условиям задачи. Таким образом, условию задачи удовлетворяет любое число, записанное цифрами 5, 7 и 8, например, число 578.

Ответ: 578|587|758|785|857|875

Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ - 2015.

Найдите трёхзначное натуральное число, большее 400, которое при делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение.

Число имеет одинаковые остатки при делении на 5 и на 6, следовательно, число имеет тот же остаток при делении на 30, причём этот остаток не равен нулю и меньше пяти. Таким образом, искомое число может иметь вид: .

При . Ни одно из чисел не больше 400

При : 421, 422, 423, 424. Первая слева цифра не является средним арифметическим двух других цифр

При : 451, 452, 453, 454. Число 453 удовлетворяет всем условиям задачи.

Также подходят числа 573 и 693.

Ответ: 453,573, 693.

Ответ: 453|573|693

Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение.

Чтобы число abcd делилось на 22, оно должно делиться и на 2, и на 11. Произведение цифр 24 можно представить многими способами, основой которых являются произведения - . Признак делимости на 11: Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11. Таким образом, a+c=b+d или a+c=b+d+11 или a+c+11=b+d. Кроме того, раз число делится на 2, то оно должно быть четным. Согласно перечисленным признакам можно подобрать следующие числа: 4312, 2134, 1342, 3124

Ответ: 2134|4312|1342|3124

Найдите трёхзначное число, кратное 25, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение.

Чтобы число делилось на 25, оно должно заканчиваться на 00, 25, 50 или 75. Наше число на 00 заканчиваться не может, поскольку все его цифры должны быть различны. Выпишем все трёхзначные числа, заканчивающиеся на 25, 50 или 75, все цифры которых различны, найдём сумму квадратов их цифр, проверим, делится ли она на 3 и на 9.

Сумма цифр не делится на 3.

Сумма цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.

Сумма цифр не делится на 3.

Сумма цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.

Сумма цифр не делится на 3.

Сумма цифр не делится на 3.

Сумма цифр не делится на 3.

Сумма цифр не делится на 3.

Сумма цифр делится на 3 и на 9.

Сумма цифр не делится на 3.

Сумма цифр не делится на 3.

Сумма цифр не делится на 3.

Сумма цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.

Сумма цифр не делится на 3.

Сумма цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.

Сумма цифр не делится на 3.

Сумма цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.

Сумма цифр не делится на 3.

Сумма цифр не делится на 3.

Сумма цифр не делится на 3.