Rješenje 19 ispitnog zadatka osnovnog Yashchenko

Zadatak br. 19 sa osnovnog Jedinstvenog državnog ispita iz matematikemathvideourok.moy.su

Znakovi djeljivosti sa 2 i 4:

Broj je djeljiv sa 2 ako se završava parnim brojem.
broj ili nula.
Brojevi 2346 i 3650 su djeljivi sa 2. Broj 4521 nije
djeljivo sa 2.
Broj je djeljiv sa 4 ako su njegova zadnja dva
cifre su nule ili čine broj djeljiv sa 4. In

Brojevi 31700 i 16608 su djeljivi sa 4. 215634 nije
djeljivo sa 4.

Testovi djeljivosti sa 3 i 9:

Samo oni brojevi čiji je zbir djeljiv sa 3
cifre su djeljive sa 3.
Brojevi 17835 i 5472 su djeljivi sa 3. Broj 105499 nije
djeljivo sa 3.
Samo oni brojevi čiji je zbir djeljiv sa 9
cifre su djeljive sa 9.
Brojevi 2376 i 342000 su djeljivi sa 9. Broj 106499 nije
djeljivo sa 9.

Testovi djeljivosti sa 8 i 6:

Broj je djeljiv sa 8 ako su njegove posljednje tri cifre
nule ili formiraju broj djeljiv sa 8. In
u drugim slučajevima se ne dijeli.
Brojevi 125000 i 111120 su djeljivi sa 8. Brojevi 170004 i
124300 – nije djeljivo sa 8.
Broj je djeljiv sa 6 ako je djeljiv u isto vrijeme
sa 2 i 3. Inače, nije djeljivo.
Brojevi 126 i 254610 su djeljivi sa 6. Brojevi 3585 i 6574 nisu djeljivi sa 6.

Znakovi djeljivosti sa 5 i 25:

Brojevi čija je zadnja cifra 0 djeljivi su sa 5
ili 5. Drugi - ne dijeliti.
Brojevi 245 i 56780 su djeljivi sa 5. Brojevi 451 i 678 nisu
su djeljive sa 5.
Brojevi čije su posljednje dvije cifre djeljive sa 25
nule ili formiraju broj djeljiv sa 25 (tj.
brojevi koji se završavaju na 00, 25, 50 ili 75). Ostalo
nemojte dijeliti.
Brojevi 7150 i 345600 su djeljivi sa 25. Broj 56755 nije
djeljivo sa 25.

Znakovi djeljivosti sa 10, 100 i 1000:

Samo ti brojevi su djeljivi sa 10, zadnjom cifrom
koji imaju nulu, sa 100 - samo oni brojevi koji imaju
zadnje dvije cifre su nule, u 1000 - samo one
od kojih su zadnje tri cifre nule.
Broj 34680 je djeljiv sa 10. Broj 56700 je djeljiv sa
100 i sa 10. Broj 87549000 je djeljiv sa 10, 100 i 1000.
Brojevi 75864, 7776539 i 9864032 nisu djeljivi sa 10, 100 i
1000.

Test djeljivosti sa 11:

Samo oni brojevi čiji je zbir cifara djeljiv sa 11
zauzimaju neparna mjesta, ili jednaka zbiru cifara,
zauzima parna mjesta, ili se razlikuje od njega brojem,
djeljivo sa 11.
Broj 103785 je djeljiv sa 11, jer je zbir cifara koji zauzimaju
neparna mjesta, 1+3+8=12 je jednako zbroju cifara koje zauzimaju par
mjesta 0+7+5=12.
Broj 9163627 je djeljiv sa 11, jer je zbir cifara koji zauzimaju
neparna mjesta, ima 9 + 6 + 6 + 7 = 28, a zbir cifara zauzima
parna mjesta, ima 1 + 3 +2 =6; razlika između brojeva 28 i 6 je
22, a ovaj broj je djeljiv sa 11.
Broj 461025 nije djeljiv sa 11, jer su brojevi 4+ 1 + 2 = 7 i b +0 +
5=11 nisu međusobno jednake, a njihova razlika 11 -7 = 4 sa 11 nije djeljiva.

Srednje opšte obrazovanje

UMK Merzlyak linija. Algebra i počeci analize (10-11) (U)

Linija UMK A. G. Merzlyak. Algebra i počeci analize (10-11) (B)

Linija UMK G. K. Muravin. Algebra i principi matematičke analize (10-11) (dubinski)

Linija UMK G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina. Algebra i principi matematičke analize (10-11) (osnovni)

Jedinstveni državni ispit iz matematike 2018, osnovni nivo: zadatak 19

Predstavljamo vam analizu zadatka 19 Jedinstvenog državnog ispita iz matematike 2018. Članak sadrži detaljnu analizu zadatka, algoritam rješenja i preporuke za aktuelne udžbenike za pripremu za Jedinstveni državni ispit, kao i izbor materijala iz matematike koji je ranije objavljen.

Matematika: algebra i principi matematičke analize, geometrija. Algebra i početak matematičke analize. 11. razred. Osnovni nivo

Udžbenik je uključen u nastavne materijale iz matematike za 10-11 razred koji izučava predmet na osnovnom nivou. Teorijsko gradivo je podeljeno na obavezno i fakultativno, sistem zadataka je diferenciran po stepenu težine, svako poglavlje se završava testnim pitanjima i zadacima, a svako poglavlje domaćim testom. Udžbenik sadrži projektne teme i linkove na Internet resurse.

Zadatak 19

Na ploči je napisano više od 40, ali manje od 48 cijelih brojeva. Aritmetička sredina ovih brojeva je –3, aritmetička sredina svih pozitivnih je 4, a aritmetička sredina svih negativnih je –8.

a) Koliko je brojeva napisano na tabli?

b) Koji su brojevi napisani više: pozitivni ili negativni?

c) Koji je najveći broj pozitivnih brojeva koji mogu biti među njima?

Rješenje

A) Neka među napisanim brojevima

x- pozitivno

y– negativan

z– nule

Onda imamo to

zbir pozitivnih brojeva je 4 x
zbir negativnih brojeva je –8 y
zbir svih brojeva u seriji 4 x + (–8y) + 0z = –3(x + y + z)

4(x – 2y + 0z) = –3(x + y + z)

Jer lijeva strana jednakosti je višekratnik 4, tada desna strana jednakosti mora biti višekratnik 4, što znači

x + y + z(broj brojeva) djeljiv sa 4.

40 <x + y + z< 48,

x + y + z= 44

Dakle, broj 44 je napisan na tabli.

B) Razmotrite jednakost 4 x + (–8y) + 0z = –3(x + y + z)

4x– 8y= – 3x– 3y– 3z

4x + 3x + 3z = 8y – 3y

7x + 3z = 5y

Odavde dobijamo, jer z ≥ 0 (broj nula u redu)

7x < 5y

x < y

To znači da ima manje pozitivnih nego negativnih brojeva.

B) Zato što x + y + z= 44, zamijenite ovu vrijednost u jednakost 4 x+ (–8y) + 0z = –3(x + y + z),

4x– 8y= (–3 44)/4

x – 2y = –33

x = 2y – 33

S obzirom na to x + y + z= 44, imamo x + y≤ 44, zamenimo x = 2y– 33 na ovu nejednakost

2y – 33 +y≤ 44

3y ≤ 77

y≤ 25	2
	3

y≤ 25, s obzirom na to x = 2y– dobijamo 33 x ≤ 17.

Opis prezentacije po pojedinačnim slajdovima:

1 slajd

Opis slajda:

2 slajd

Opis slajda:

Navedite primjer trocifrenog broja čiji je zbir cifara 20, a zbir kvadrata cifara djeljiv sa 3, ali nije djeljiv sa 9. Razložimo broj 20 na njegove članove u raznim načini: 1) 20 = 9 + 9 + 2 2) 20 = 9 + 8 + 3 3) 20 = 9 + 7 + 4 4) 20 = 9 + 6 + 5 5) 20 = 8 + 8 + 4 6) 20 = 8 + 7 + 5. Pronađite zbir kvadrata u svakom proširenju i provjerite da li je djeljiv sa 3 i nije djeljiv sa 9. Kada se dekomponuje metodama (1)−(4), zbir kvadrata brojeva nije djeljiv sa 3. Kada se dekomponuje metodom (5), zbir kvadrata se dijeli sa 3 i sa 9. Dekompozicija metodom (6) zadovoljava uslove problema. Odgovor: na primjer, brojevi 578 ili 587 ili 785, itd.

3 slajd

Opis slajda:

Br. 2. Navedite primjer trocifrenog prirodnog broja većeg od 600, koji kada se podijeli sa 3, 4 i 5 ostavlja ostatak od 1 i čije su cifre poređane u opadajućem redoslijedu s lijeva na desno. U svom odgovoru navedite tačno jedan takav broj. 600 je djeljivo sa 3, 4 i 5. Broj 601 ostavlja ostatak od 1 kada se podijeli ovim brojevima, ali brojevi u 601 se ne smanjuju. LCM=3*4*5=60 - djeljivo sa 3, 4 i 5. Provjerite broj 600+60 =660. Deljiv je sa 3, 4 i 5, broj sa ostatkom od 1 je 661, ali se brojevi ne smanjuju. Provjeravamo sljedeće 660+60= 720, djeljivo je sa 3, 4 i 5. Broj 721 ostavlja ostatak od 1 i brojevi se smanjuju. Odgovor: 721.

4 slajd

Opis slajda:

Br. 3. Navedite primjer petocifrenog broja, višestrukog broja 12, čiji je proizvod cifara 40. U svom odgovoru navedite tačno jedan takav broj. Razložimo 40 u 5 faktora: 40=5*2*2*2*1. Na primjer, 51222. Jer broj mora biti višekratnik 12, tada mora biti djeljiv sa 3 i 4. Zbir cifara je 12, što znači da je djeljiv sa 3. Da bi broj bio djeljiv sa 4, posljednje dvije cifre moraju biti broj koji je djeljiv sa 4. 22 nije djeljiv sa 4, a 12 je djeljiv. To znači da su na kraju brojevi 1, 2. Opcije odgovora: 52212, 25212, 22512.

5 slajd

Opis slajda:

Br. 4. Precrtajte tri cifre u broju 53164018 tako da dobijeni broj bude djeljiv sa 15. U svom odgovoru navedite tačno jedan rezultirajući broj 5 3 1 6 4 0 1 8 - cifre broja. Da bi broj bio djeljiv sa 15, mora biti djeljiv sa 3 i 5. Da bi broj bio djeljiv sa 5, mora se završavati na 0 ili 5. Precrtajte posljednje 2 cifre. 5+3+1+6+4+0 = 19, što znači da trebate precrtati broj 1 (zbir brojeva će biti 18), ili 4 (zbir brojeva će biti 15). Opcije odgovora: 53640 ili 53160.

6 slajd

Opis slajda:

Br. 5. Pronađite trocifreni broj veći od 500 koji, kada se podijeli sa 4 sa 5 i sa 6, ostavlja ostatak od 2 i u kojem postoje samo dvije različite cifre. Molimo navedite jedan takav broj u svom odgovoru. Broj koji je djeljiv sa 4, 5 i 6 jednak je 60. Broj veći od 500 i višekratnik od 60 je 540, 600, 660, 720, 780, 840, 900, 960. Da bismo dobili 2 kao ostatak prilikom dijeljenja sa 60, trebate primijeniti na bilo koji od ovih brojeva dodati 2. Može biti 662 ili 722.

7 slajd

Br. 7. Pronađite trocifreni prirodni broj veći od 400, ali manji od 650, koji je djeljiv sa svakom svojom cifrom i čije su sve cifre različite i nisu jednake nuli. Molimo navedite jedan takav broj u svom odgovoru. Broj počinje brojem 4 (više od 400), što znači da mora biti djeljiv sa 4. Drugi broj je 416. Također je djeljiv sa 4, ali nije djeljiv sa 6. Prvi broj je 412. On je djeljiv sa 4 i 2 (paran broj) Broj je djeljiv sa 4 ako se završava na 00, ili je broj sastavljen od posljednje dvije cifre datog broja djeljiv sa 4. Drugi broj je 432. Deljiv je sa 4, 3 i 2. Opcije odgovora: 412 ili 432.

Navedite primjer trocifrenog broja čiji je zbir cifara 20, a zbir kvadrata cifara je djeljiv sa 3, ali nije djeljiv sa 9.

Rješenje.

Razložimo broj 20 na njegove pojmove na različite načine:

20 = 9 + 9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 = 8 + 8 + 4 = 8 + 7 + 5 = 8 + 6 + 6 = 7 + 7 + 6.

Kada se dekomponuju metodama 1−4, 7 i 8, zbroj kvadrata brojeva nije višekratnik tri. Kada se razloži na peti način, zbir kvadrata je višekratnik devet. Proširenje na šesti način zadovoljava uslove problema. Dakle, bilo koji broj napisan brojevima 5, 7 i 8, na primjer, broj 578, zadovoljava uslove zadatka.

Odgovor: 578|587|758|785|857|875

Izvor: Demo verzija Jedinstvenog državnog ispita - 2015.

Nađite trocifreni prirodni broj veći od 400, koji kada se podijeli sa 6 i 5 daje jednake ostatke koji nisu nula i čija je prva znamenka s lijeve strane aritmetička sredina druge dvije cifre. Molimo navedite jedan takav broj u svom odgovoru.

Rješenje.

Broj ima isti ostatak kada se podijeli sa 5 i 6, dakle, broj ima isti ostatak kada se podijeli sa 30, a taj ostatak nije nula i manji od pet. Dakle, traženi broj može izgledati ovako: .

U . Nijedan od brojeva nije veći od 400

Kada: 421, 422, 423, 424. Prva cifra s lijeve strane nije aritmetička sredina druge dvije cifre

Kada: 451, 452, 453, 454. Broj 453 zadovoljava sve uslove zadatka.

Pogodni su i brojevi 573 i 693.

Odgovor: 453,573, 693.

Odgovor: 453|573|693

Pronađite četverocifreni broj koji je višestruki od 22, čiji je proizvod cifara 24. U svom odgovoru navedite jedan takav broj.

Rješenje.

Da bi broj abcd bio djeljiv sa 22, mora biti djeljiv i sa 2 i sa 11. Proizvod cifara 24 može se predstaviti na mnogo načina, čija je osnova proizvod - . Test djeljivosti sa 11: Broj je djeljiv sa 11 ako je zbir cifara na parnim mjestima jednak zbiru cifara na neparnim mjestima ili se od njega razlikuje za 11. Dakle, a+c=b+d ili a+ c= b+d+11 ili a+c+11=b+d. Osim toga, pošto je broj djeljiv sa 2, on mora biti paran. Prema navedenim karakteristikama možete odabrati sljedeće brojeve: 4312, 2134, 1342, 3124

Odgovor: 2134|4312|1342|3124

Nađite trocifreni broj koji je višestruki od 25, čije su sve cifre različite, a zbir kvadrata cifara je djeljiv sa 3, ali nije djeljiv sa 9. Navedite jedan takav broj u svom odgovoru.

Rješenje.

Da bi broj bio djeljiv sa 25, mora se završavati na 00, 25, 50 ili 75. Naš broj se ne može završavati na 00, jer sve njegove cifre moraju biti različite. Zapišimo sve trocifrene brojeve koji se završavaju na 25, 50 ili 75, čije su sve cifre različite, pronađemo zbir kvadrata njihovih cifara, provjerimo da li je djeljiv sa 3 i 9.